Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，分別是BC、AA₁的中點(diǎn)．求：
（Ⅰ） FE與底面所成角的大小；
（Ⅱ）異面直線EF和A₁B所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可得EA⊥平面ABC，可得∠FEA即為 FE與底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E為BC的中點(diǎn) 可求AE，在Rt△AEF中求解即可
（II）由E，F(xiàn)都為中點(diǎn)，考慮取AB的中點(diǎn)G，則可得FG∥BA₁，從而有∠GFE即為異面直線EF和A₁B所成角（或補(bǔ)角）
分別求解FE，EG，F(xiàn)G，從而可求
解答：解：（I）．連接AE，由已知可得EA⊥平面ABC
∴∠FEA即為 FE與底面所成角
∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E為BC的中點(diǎn)∴AE=
∵△AEF中AF=，AE=
∴∠AEF=45°即 FE與底面所成角45°
（II）取AB的中點(diǎn)G，連接FG，EG則可得FG∥BA₁
所以∠GFE即為異面直線EF和A₁B所成角（或補(bǔ)角）
由（I）可得FE=2，為FG=，EG=1
所以可得∠GFE=30°
異面直線EF和A₁B所成角的大小為30°
點(diǎn)評(píng)：本題所考查的時(shí)立體幾何中最為基本的類型的試題：直線與平面所成的角的求解與異面直線所成的角度的求解，解決此問題的關(guān)鍵是要能夠做出所要求的角，然后再通過解三角形進(jìn)行求解．