Question

已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)是4

3

，側(cè)棱長(zhǎng)是5，則它的體積為 ______．

Answer 1

如圖，在正三棱錐P-ABC中，底面邊長(zhǎng)AB=4

3

，側(cè)棱長(zhǎng)PA=5，
設(shè)頂點(diǎn)P在底面的射影為O，連接CO并延長(zhǎng)，交AB與點(diǎn)D；
連接PD，則CD⊥AB，PD⊥AB；
在正△ABC中，AB=4

3

，
∴CD=

3

2

•AB=

3

2

×4

3

=6，
OD=

1

3

•CD=

1

3

×6=2，
PD=

PA2-AD2

=

52-(2 3 )2

=

13

，
∴PO=

PD2-OD2

=

( 13) 2-22

=3，
所以，正三棱錐P-ABC的體積為：
V=

1

3

•S_△ABC•PO=

1

3

×

1

2

×4

3

×4

3

×sin60°×3=12

3

．
故答案為：12

3