Question

三棱錐P-ABC中，三角形PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°
（Ⅰ）證明：AB⊥PC
（Ⅱ）若三角形ABC是邊長為2

2

的正三角形，（1）求證：面PAC⊥面PBC；（2）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

分析：（I）利用△PAB是等邊三角形，證明AC=BC．取AB中點D，連接PD、CD，通過證明AB⊥平面PDC，然后證明AB⊥PC．
（II）（1）作BE⊥PC，垂足為E，連接AE，利用證得∠AEB=90°，結(jié)合平面垂直的定義即可得到面PAC⊥面PBC；（2）通過Rt△PBC≌Rt△PAC，Rt△AEB≌Rt△PEB，說明△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．然后求出三棱錐P-ABC的體積．

解答：解：（I）證明：因為△PAB是等邊三角形，
∠PAC=∠PBC=90°，
PC=PC
所以Rt△PBC≌Rt△PAC，
可得AC=BC．
如圖，取AB中點D，連接
PD、CD，
則PD⊥AB，CD⊥AB，
所以AB⊥平面PDC，
所以AB⊥PC．
（II）（1）作BE⊥PC，垂足為E，連接AE．
因為Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以AE⊥PC，AE=BE．
在三角形ABE中，由已知，得BE=AE=2，AB=2

2

，
故∠AEB=90°．
從而，平面PAC⊥平面PBC，
（2）因為Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB都是等腰直角三角形．
由已知得PC=4，AE=BE=2，
△AEB的面積S=2．
因為PC⊥平面AEB，
所以三棱錐P-ABC的體積：
V=

1

3

×S×PC=

8

3

．

點評：本小題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．是中檔題．