Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB交x、y軸于點(diǎn)A（10$\sqrt{3}$，0），B（0，-30），一圓心位于（0，3），半徑為3的動(dòng)圓沿x軸向右滾動(dòng)，動(dòng)圓每6秒滾動(dòng)一圈，則動(dòng)圓與直線AB第一次相切時(shí)所用的時(shí)間為$\frac{9\sqrt{3}}{π}$ 秒．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，得出第一次與AB相切時(shí)，O正好在∠OAC的角平分線上，求出∠OAB的度數(shù)，求出∠OAM，根據(jù)三角函數(shù)值求出AM、求出OM，根據(jù)動(dòng)圓每6秒滾動(dòng)一圈即可求出動(dòng)圓與直線AB第一次相切時(shí)所用的時(shí)間．

解答 解：如圖當(dāng)⊙O于AB第一次相切時(shí)，于x軸切于M，此時(shí)O正好在∠OAC的角平分線上，
∵A（10$\sqrt{3}$，0），B（0，-30），
∴OA=10$\sqrt{3}$，OB=30，
∴tan∠OAB=$\frac{30}{10\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，∴∠OAB=60°，∴∠OAM=60°，
∵OM=3，∴tan60°=$\frac{OM}{AM}$=$\frac{3}{AM}$，∴AM=$\sqrt{3}$，
∴OM=10$\sqrt{3}-\sqrt{3}=9\sqrt{3}$，
設(shè)動(dòng)圓與直線AB第一次相切時(shí)所用的時(shí)間是x秒，
∵動(dòng)圓每6秒滾動(dòng)一圈，
∴$\frac{2π×3}{6}$=$\frac{9\sqrt{3}}{x}$，
解得：x=$\frac{9\sqrt{3}}{π}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{3}}{π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是能根據(jù)題意畫出圖形，并知道主要應(yīng)該求那一條線段的長(zhǎng)，題目比較難懂，是有一定難度的題目．