Question

如圖，設(shè)P是單位圓和x軸正半軸的交點(diǎn)，M、N是單位圓上的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，∠POM=

π

3

，∠PON=α，α∈[0，π）
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)f（α）=

OM

•

ON

，求f（α）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出M坐標(biāo)利用三角函數(shù)的定義直接求出M即可．
（2）由題意推出N利用f（α）=

OM

•

ON

，求出函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合角的范圍，求出函數(shù)的取值范圍．

解答：（1）解：設(shè)M（x，y），根據(jù)三角函數(shù)的定義得，
x=cos

π

3

=

1

2

，y=sin

π

3

=

3

2

，∴M（

1

2

，

3

2

）．
（2）N是單位圓上的點(diǎn)，∠PON=α，α∈[0，π），所以N（cosα，sinα），
∴

OM

=(

1

2

，

3

2

)，

ON

=（cosα，sinα）．
∴f（α）=

OM

•

ON

=

1

2

cosα+

3

2

sinα=cos（α-

π

3

）
因?yàn)棣痢蔥0，π），∴-

π

3

≤α-

π

3

＜

2π

3

，∴-

1

2

＜cos（α-

π

3

）≤1，
f（α）的取值范圍是（-

1

2

，1]．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的定義，向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的化簡求值，考查計(jì)算能力．