Question

在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，AB=BC=BE=2AD=2．
（Ⅰ）求異面直線DE與AC所成角的大小；
（Ⅱ）在線段CE上是否存在點F，使平面BDF⊥平面ADE，若存在，確定點F的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標系，寫出有關的點及向量的坐標．（Ⅰ）先求出兩條異面直線的方向向量，進而利用向量的夾角即可求出異面直線所成的夾角；
（Ⅱ）利用

a

•

b

=0?

a

⊥

b

，來證明線線垂直，從而證明線面、面面垂直．

解答：解：由于在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BE⊥平面ABCD，
則AB，BC，BE兩兩垂直，
故可以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系B-xyz．

∵AB=BC=BE=2AD=2，
則B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），D（1，2，0），E（0，0，2）．
（Ⅰ）∵

DE

=(-1，-2，2)，

AC

=(2，-2，0)
∴

DE

•

AC

=(-1)×2+(-2)×(-2)=2，
|

DE

|=

(-1)2+(-2)2+22

=3，
|

AC

|=

22+(-2)2+02

=2

2

∴cos＜

DE

，

AC

＞=

DE • AC

| DE || AC |

=

2

6

故異面直線DE與AC所成角的大小為arccos

2

6

；
（Ⅱ）假設線段CE上存在這樣的點F，不妨設F（a，0，2-a）（0≤a≤2）
則

BD

=(1，2，0)，

BF

=(a，0，2-a)

若設平面BDF的法向量為

n

=(x，y，z)
故有

n • BD =0 n • BF =0

，則

x+2y=0 ax+(2-a)z=0

∴平面BDF的一個法向量為

n

=(2，-1，-

2a

2-a

)
∵在平面ADE中，

DE

=(-1，-2，2)，

AD

=(1，0，0)
同理可得平面ADE的一個法向量為

m

=(0，1，1)
由于平面BDF⊥平面ADE，則

m

⊥

n

，
即

m

•

n

=2×0+(-1)×1+(-

2a

2-a

)×1=0
解得a=-2，由于點F在線段CE上，-2∉{a|0≤a≤2}
故在線段CE上不存在點F，使得平面BDF⊥平面ADE．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量和直線的方向向量等知識證明線線、線面、面面垂直和求出異面直線所成的夾角的方法是解題的關鍵．