Question

電視臺(tái)舉辦猜獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者需先后回答兩道選擇題：問題A有四個(gè)選項(xiàng)，問題B有六個(gè)選項(xiàng)，但都只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．正確回答問題A可獲獎(jiǎng)金m元，正確回答問題B可獲獎(jiǎng)金n元．活動(dòng)規(guī)定：①參與者可任意選擇回答問題的順序；②如果第一個(gè)問題回答錯(cuò)誤，則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)中止．一個(gè)參與者在回答問題前，對(duì)這兩個(gè)問題都很陌生，因而準(zhǔn)備靠隨機(jī)猜測回答問題．試確定回答問題的順序使獲獎(jiǎng)金額的期望值較大．

Answer 1

【答案】分析：隨機(jī)猜對(duì)問題A的概率p₁=，隨機(jī)猜對(duì)問題B的概率p₂=，回答問題的順序有兩種：（1）先回答問題A，再回答問題B．
參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，m，m+n，則P（ξ=0）=1-p₁=，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=，P（ξ=m+n）=p₁p₂=．Eξ=0×+m×+（m+n）×=；（2）先回答問題B，再回答問題A．參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，n，m+n．，則P（η=0）=1-p₂=，P（η=n）=p₂（1-p₁）=，P（η=m+n）=p₂p₁=．Eη=0×+n×+（m+n）×=．由此能求出結(jié)果．
解答：解：隨機(jī)猜對(duì)問題A的概率p₁=，隨機(jī)猜對(duì)問題B的概率p₂=，
回答問題的順序有兩種，分別討論如下：
（1）先回答問題A，再回答問題B．
參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，m，m+n．，則
P（ξ=0）=1-p₁=，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=，
P（ξ=m+n）=p₁p₂=．
Eξ=0×+m×+（m+n）×=．
（2）先回答問題B，再回答問題A．
參與者獲獎(jiǎng)金額η可取0，n，m+n．，則
P（η=0）=1-p₂=，P（η=n）=p₂（1-p₁）=，
P（η=m+n）=p₂p₁=．
Eη=0×+n×+（m+n）×=．
Eξ-Eη=（）-（）=，
于是，當(dāng)時(shí)，Eξ＞Eη，先回答問題A，再回答問題B，獲獎(jiǎng)的期望值較大；
當(dāng)=時(shí)，Eξ=Eη，兩種順序獲獎(jiǎng)的期望值相等；
當(dāng)＜時(shí)，Eξ＜Eη，先回答問題B，再回答問題A，獲獎(jiǎng)的期望值較大．
點(diǎn)評(píng)：本題考查概率在生產(chǎn)實(shí)際中的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大，容易出錯(cuò)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)求解，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．