Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋2x＋3．

(1)畫出f(x)的圖像；

(2)根據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)利用定義證明函數(shù)f(x)＝－x²＋2x＋3在區(qū)間(－∞，1]上是增函數(shù)；

(4)當函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，m]上是增函數(shù)時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的圖像如下圖所示． 　　(2)由函數(shù)f(x)的圖像，得在直線x＝1的左側圖像是上升的，在直線x＝1的右側圖像是下降的，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1]，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，＋∞)． 　　(3)設x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，則有 　　f(x1)－f(x2)＝(－x12＋2x1＋3)－(－x22＋2x2＋3) 　�。�(x22－x12)＋2(x1－x2) 　�。�(x1－x2)(2－x1－x2)． 　　∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2， 　　∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2． 　　∴2－x1－x2＞0． 　　∴f(x1)－f(x2)＜0． 　　∴f(x1)＜f(x2)． 　　∴函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3在區(qū)間(－∞，1]上是增函數(shù)． 　　(4)函數(shù)f(x)＝－x2＋2x＋3的對稱軸是直線x＝1，在對稱軸的左側是增函數(shù)，那么當區(qū)間(－∞，m]位于對稱軸的左側時滿足題意，則有m≤1，即實數(shù)m的取值范圍是(－∞，1]．

提示：

思路分析：本題主要考查二次函數(shù)的圖像、函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應用．(1)畫二次函數(shù)的圖像時，重點確定開口方向和對稱軸的位置；(2)根據(jù)單調(diào)性的幾何意義，寫出單調(diào)區(qū)間；(3)證明函數(shù)的增減性，先在區(qū)間上取x1＜x2，然后作差f(x1)－f(x2)，判斷這個差的符號即可；(4)討論對稱軸和區(qū)間[m，＋∞)的相對位置． 　　綠色通道：討論二次函數(shù)的單調(diào)性時，要結合二次函數(shù)的圖像，通過確定對稱軸和單調(diào)區(qū)間的相對位置來解決．