已知函數(shù)f(x)=-x2+2x+3.
(1)畫出f(x)的圖像;
(2)根據(jù)圖像寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)利用定義證明函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù);
(4)當函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m]上是增函數(shù)時,求實數(shù)m的取值范圍.
解:(1)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的圖像如下圖所示. (2)由函數(shù)f(x)的圖像,得在直線x=1的左側圖像是上升的,在直線x=1的右側圖像是下降的,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,1],單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+∞). (3)設x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2,則有 f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3) 。(x22-x12)+2(x1-x2) 。(x1-x2)(2-x1-x2). ∵x1、x2∈(-∞,1],且x1<x2, ∴x1-x2<0,x1+x2<2. ∴2-x1-x2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2). ∴函數(shù)f(x)=-x2+2x+3在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù). (4)函數(shù)f(x)=-x2+2x+3的對稱軸是直線x=1,在對稱軸的左側是增函數(shù),那么當區(qū)間(-∞,m]位于對稱軸的左側時滿足題意,則有m≤1,即實數(shù)m的取值范圍是(-∞,1]. |
思路分析:本題主要考查二次函數(shù)的圖像、函數(shù)的單調(diào)性及其綜合應用.(1)畫二次函數(shù)的圖像時,重點確定開口方向和對稱軸的位置;(2)根據(jù)單調(diào)性的幾何意義,寫出單調(diào)區(qū)間;(3)證明函數(shù)的增減性,先在區(qū)間上取x1<x2,然后作差f(x1)-f(x2),判斷這個差的符號即可;(4)討論對稱軸和區(qū)間[m,+∞)的相對位置. 綠色通道:討論二次函數(shù)的單調(diào)性時,要結合二次函數(shù)的圖像,通過確定對稱軸和單調(diào)區(qū)間的相對位置來解決. |
科目:高中數(shù)學 來源:2011屆南京市金陵中學高三第四次模擬考試數(shù)學試題 題型:解答題
(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a為正數(shù)).
(1) 若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3) 設g(x)=x2-2x,若對任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年浙江省杭州市高三上學期開學考試數(shù)學卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是增函數(shù),則f(1)的范圍是( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖南省高三第三次月考文科數(shù)學卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=若f(a)=,則a= ( )
A.-1 B.
C.-1或 D.1或-
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖北省天門市高三天5月模擬文科數(shù)學試題 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x無實根,下列命題中:
(1)方程f [f (x)]=x一定無實根;
(2)若a>0,則不等式f [f (x)]>x對一切實數(shù)x都成立;
(3)若a<0,則必存在實數(shù)x0,使f [f (x0)]>x0;
(4)若a+b+c=0,則不等式f [f (x)]<x對一切x都成立;
正確的序號有 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆江西省南昌市高三第一次模擬測試卷理科數(shù)學試卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|-()x有兩個零點x1,x2,則有
A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2
C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2
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