Question

已知函數(shù)f(x)＝－alnx，a∈R．

（Ⅰ）當(dāng)f(x)存在最小值時，求其最小值φ(a)的解析式；

（Ⅱ）對（Ⅰ）中的φ(a)，

（ⅰ）當(dāng)a∈(0，＋∞)時，證明：φ(a)≤1；

（ⅱ）當(dāng)a＞0，b＞0時，證明：φ′()≤≤φ′()．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）φ(a)＝a－alna（a＞0）；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求最值；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，分類討論.

試題解析：(Ⅰ) 求導(dǎo)數(shù)，得f ′(x)＝－＝（x＞0）．

（1）當(dāng)a≤0時，f ′(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，無最小值．

（2）當(dāng)a＞0時，令f ′(x)＝0，解得x＝a²．

當(dāng)0＜x＜a²時，f ′(x)＜0，∴f(x)在(0，a²)上是減函數(shù)；

當(dāng)x＞a²時，f ′(x)＞0，∴f(x)在(a²，＋∞)上是增函數(shù)．

∴f(x)在x＝a²處取得最小值f(a²)＝a－alna．

故f(x)的最小值φ(a)的解析式為φ(a)＝a－alna（a＞0）．         6分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a－alna（a＞0），

求導(dǎo)數(shù)，得φ′(a)＝－lna．

（�。┝瞀铡�(a)＝0，解得a＝1．

當(dāng)0＜a＜1時，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函數(shù)；

當(dāng)a＞1時，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．

∴φ(a)在a＝1處取得最大值φ(1)＝1．

故當(dāng)a∈(0，＋∞)時，總有φ(a)≤1．             10分

（ⅱ）當(dāng)a＞0，b＞0時，

＝－＝－ln，                ①

φ′()＝－ln()≤－ln，                   ②

φ′()＝－ln()≥－ln＝－ln，         ③

由①②③，得φ′()≤≤φ′()．         14分

考點：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，最值.