Question

已知函數(shù)f(x)=

(a-2)x，x≥2 2x-1，x＜2

滿足對任意實數(shù)x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A．[

  7

  2

  ，+∞)
• B．(

  7

  2

  ，+∞)
• C．[2，+∞）
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，可以判定函數(shù)f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，則分段函數(shù)的每一段都必須是單調(diào)遞增函數(shù)，并且在兩段的分界點處，左段的函數(shù)值要小于等于右段的函數(shù)值，列出不等式組，求解即可得到實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）對任意實數(shù)x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，
則f（x₁）-f（x₂）與x₁-x₂同號，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知，函數(shù)f（x）為R上的單調(diào)遞增函數(shù)，
∵f(x)=

(a-2)x，x≥2 2x-1，x＜2

，
∴當x＜2時，f（x）=2^x-1為單調(diào)遞增函數(shù)，
當x≥2時，f（x）=（a-2）x為單調(diào)遞增函數(shù)，且兩段的分界點處，左段的函數(shù)值要小于等于右段的函數(shù)值，
∴

a-2＞0 22-1≤(a-2)×2

，即

a＞2 a≥ 7 2

，
解得a≥

7

2

，
∴實數(shù)a的取值范圍為[

7

2

，+∞）．
故選A．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性．對于分段函數(shù)的問題，一般選用分類討論和數(shù)形結合的思想方法進行求解．屬于中檔題．