Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長(zhǎng)都為a，P為棱A₁B上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大小；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)C₁到面PAC的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，
設(shè)P（x，0，z），則B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、．

（Ⅰ）由得，
即，∴，即P為A₁B的中點(diǎn)，
也即A₁P：PB=1時(shí)，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）當(dāng)A₁P：PB=2：3時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)是．取．
則，．
∴是平面PAC的一個(gè)法向量．
又平面ABC的一個(gè)法向量為．
∴，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…8′
（Ⅲ）設(shè)C₁到面PAC的距離為d，則，∴C₁到面PAC的距離為．…12′
分析：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)A點(diǎn)與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，利用可求A₁P：PB=1．
（Ⅱ）當(dāng)A₁P：PB=2：3時(shí)，求得P點(diǎn)的坐標(biāo)是．分別求出平面PAC、ABC的一個(gè)法向量．再用公式可求
（Ⅲ）設(shè)C₁到面PAC的距離為d，利用，可求．
點(diǎn)評(píng)：本題以正三棱柱為載體，考查空間向量的運(yùn)用，考查線線位置關(guān)系，考查二面角，考查點(diǎn)到面距離．