Question

已知對角線互相垂直且面積為5的四邊形，其頂點都在半徑為3的圓上，設圓心到兩對角線的距離分別為d₁，d₂，則d₁+d₂的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：先設對角線互相垂直的四邊形兩對角線分別為a，b，利用圓的性質得出圓心到兩對角線的距離分別為d₁，d₂，得出d₁+d₂的函數表達式，再根據隱含條件求出此函數的定義域，畫出其圖象，利用函數的圖象研究它的最大值．
解答：解：設兩對角線分別為a，b．如圖．
d₁=
d₂=，
四邊形面積為5=ab，
∴ab=10．
∴得d₁+d₂=+，
又對角線a、b的交點應在圓內，即d₁²+d₂²=OP²＜r²=3²，
代入d₁=，d₂=，ab=10．全部化為同一個變量a即為（9-a²）+（9-）＜9，
解得a²∈（-∞，18-4）∪（18+4，+∞），
又對角線a＞0，即得a∈（0，-2）∪（+2，+∞），
與函數自身的定義域[，6]，取交集后得a的取值范圍，
即函數符合題意的實際定義域為[，-2）∪（+2，6]．
作出函數y=+（a∈[，-2）∪（+2，6]）的圖象，如圖．
從圖中可以看出，當a→-2，或a→+2時，y=+取得極大值．
故d₁+d₂的取值范圍為[，），右端為開區(qū)間，無最大值．
故答案為：無（或是一道錯題）．
點評：本題想考查進行簡單的演繹推理，考查圓的性質，可惜在于沒有注意到題中隱含的條件導致錯誤，屬于錯題．