Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=（

1

2

）^x-m
（1）x∈[-1，3]求f（x）的值域；
（2）若對(duì)?x∈[0，2]，g（x）≥1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）若對(duì)?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值，即可求得函數(shù)的值域．
（2）根據(jù)對(duì)?x₁∈[0，2]，g（x）≥1成立，等價(jià)于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1，而g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，利用其最小建立關(guān)于m的不等關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）對(duì)?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，等價(jià)于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9，從而建立關(guān)于m的不等式，由此可求結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)x∈[-1，3]時(shí)，函數(shù)f（x）=x²∈[0，9]，
∴f（x）的值域[0，9]…（4分）
（2）對(duì)?x₁∈[0，2]，g（x）≥1成立，
等價(jià)于g（x）在[0，2]的最小值大于或等于1．
而g（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，所以
  (

1

2

)2-m≥1，即m≤-

3

4

           （8分）
（3）對(duì)?x₁∈[0，2]，?x₂∈[-1，3]，使得g（x₁）≤f（x₂）成立，
等價(jià)于g（x）在[0，2]的最大值小于或等于f（x）在[-1，3]上的最大值9  （10分）
由1-m≤9，
∴m≥-8．          （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查全稱命題、特稱命題及恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題加以解決，屬于基礎(chǔ)題．