Question

已知k∈R，函數(shù)f（x）=m^x+kn^x（m＞0且m≠1，n＞0且n≠1）．
（Ⅰ） 如果實(shí)數(shù)m，n滿足m＞1，mn=1，函數(shù)f（x）是否具有奇偶性？如果有，求出相應(yīng)的k值；如果沒(méi)有，說(shuō)明為什么？
（Ⅱ） 如果m＞1＞n＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）如果f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），轉(zhuǎn)化成（n^x-m^x）（k-1）=0，根據(jù)n^x-m^x=0不恒成立，可求出k的值．如果f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x），可轉(zhuǎn)化成（n^x+m^x）（k+1）=0，根據(jù)n^x+m^x=0不恒成立，可求出k的值．
（2）根據(jù)m＞1＞n＞0，則

m

n

，當(dāng)k≤0時(shí)，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數(shù)，當(dāng)k＞0時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），令f'（x）=0求出極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）如果f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x）即m^-x+kn^-x=m^x+kn^x恒成立，
即：n^x+km^x=m^x+kn^x，（n^x-m^x）+k（m^x-n^x）=0，則 （n^x-m^x）（k-1）=0．
由n^x-m^x=0不恒成立，得k=1，即當(dāng)k=1時(shí)，f（x）為偶函數(shù)．（3分）
如果f（x）為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）即m^-x+kn^-x=-m^x-kn^x恒成立，
即：n^x+km^x=-m^x-kn^x，（n^x+m^x）+k（m^x+n^x）=0，則 （n^x+m^x）（k+1）=0．
由n^x+m^x=0不恒成立，得k=-1，即k=-1時(shí)，f（x）為奇函數(shù)．
（2）m＞1＞n＞0，則

m

n

＞1，∴當(dāng)k≤0時(shí)，顯然f（x）=m^x+kn^x在R上為增函數(shù)．
當(dāng)k＞0時(shí)，令 f'（x）=m^xlnm+kn^xlnn=n^x•[(

m

n

)x+lnm+klnn]=0，
可得[(

m

n

)x+lnm+klnn]=0，(

m

n

)x=-k

lnn

lnm

=-klog_mn，∴x=log

m

n

(-klogmn)．
在（-∞，log

m

n

(-klogmn) ）上，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
在（ log

m

n

(-klogmn)，+∞）上，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖形的對(duì)稱性，同時(shí)考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．