Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，S_n=2a_n+1，其中S_n為{a_n}的前n項和（n∈N^*）．
（Ⅰ）求S₁，S₂及數(shù)列{S_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{S_n}$，且{b_n}的前n項和為T_n，求證：當(dāng)n≥2時，$\frac{1}{3}≤|{T_n}|≤\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)數(shù)列的遞推公式得到數(shù)列{S_n}為以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式，再代值計算即可，
（Ⅱ）先求出b_n，再根據(jù)前n項和公式得到|T_n|，利用放縮法即可證明．

解答 解：（Ⅰ）數(shù)列{a_n}滿足S_n=2a_n+1，則S_n=2a_n+1=2（S_n+1-S_n），即3S_n=2S_n+1，
∴$\frac{{{S_{n+1}}}}{S_n}=\frac{3}{2}$，
即數(shù)列{S_n}為以1為首項，以$\frac{3}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴S_n=（$\frac{3}{2}$）^n-1（n∈N^*）．
∴S₁=1，S₂=$\frac{3}{2}$；
（Ⅱ）在數(shù)列{b_n}中，${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{S_n}=-1×\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}$，
T_n為{b_n}的前n項和，
則|T_n|=$|-1×\{1+（-\frac{2}{3}）+\frac{4}{9}$$+[-{（\frac{2}{3}）^3}]+…+\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（&\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}\}|$|=$|1+（-\frac{2}{3}）+\frac{4}{9}+$$[-{（\frac{2}{3}）^3}]+…+\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}|$．
而當(dāng)n≥2時，$1-\frac{2}{3}≤|1+（-\frac{2}{3}）$$+\frac{4}{9}+[-{（\frac{2}{3}）^3}]+…+$$\frac{{{{（-1）}^{n-1}}}}{{{{（\frac{3}{2}）}^{n-1}}}}|≤|1+$$（-\frac{2}{3}）+\frac{4}{9}|=\frac{7}{9}$，
即$\frac{1}{3}≤|{T_n}|≤\frac{7}{9}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項及不等式的證明，考查運算求解能力，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．