Question

如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形．

(1)若渠中流水的橫斷面積為S，水面的高為h，當水渠側邊的傾斜角Φ為多大時，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最��？

(2)若被水浸濕的水渠側邊和水渠底面邊長都等于a，當水渠側邊傾斜角Φ多大時，水流的橫斷面積為最大？

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)依題意，側邊BC＝h·(sinΦ)－1，設下底AB＝x，則上底CD＝x＋2hcotΦ， 　　又S＝(2x＋2hcotΦ)h＝(x＋hcotΦ)h， 　　∴下底x＝－hcotΦ， 　　∴橫斷面被水浸濕周長 　　l＝＋(－hcotΦ)＝－＋(0＜Φ＜)． 　　∴Φ＝． 　　令Φ＝0，解得cosΦ＝，∴Φ＝． 　　根據(jù)實際問題的意義，當Φ＝時，水渠橫斷面被水浸濕的周長最�。� 　　(2)設水渠高為h，水流橫斷面積為S，則 　　S＝(a＋a＋2acosΦ)·h＝(2a＋2acosΦ)·asinΦ＝a2(1＋cosΦ)·sinΦ(0＜Φ＜)． 　　∴＝a2[－sin2Φ＋(1＋cosΦ)cosΦ]＝a2(2cosΦ－1)(cosΦ＋1)． 　　令＝0，得cosΦ＝或cosΦ＝－1(舍)，故在(0，)內，當Φ＝時，水流橫斷面積最大，最大值為S＝a2(1＋cos)sin＝．