（12分）如圖所示，四棱錐中，，，，

為的中點(diǎn)。

（I）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值。

解析:（I）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)和，

則又，

四邊形為平行四邊形，

又平面，平面

 平面

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（2，0，0），

E（1，0，1），M（1，1，1），P（0，0，2），設(shè)直線與平面所成的角為，

      是中點(diǎn)， 

           面，  

      面即為面的法向量，

     

      。

      

（Ⅲ）設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為=（），

     則  

        不妨設(shè)則

      為平面的法向量，且

     

      

解法二：（I）同上；

（Ⅱ）連結(jié)，，是中點(diǎn)，。

      面 

      面

      就是直線與平面所成的角。

     

（Ⅲ）連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作于連結(jié)，

     是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且

      面    又   

     就是二面角的平面角，設(shè)為。

     在中，

     
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在如圖所示的四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=DC=PD=2AD，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn)．
（I）證明：BC⊥PC；
（Ⅱ）證明：AE∥平面PDC；
（Ⅱ）證明：平面PAB⊥平面PBC．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，四棱錐中，底面是矩形，平面，分別是的中點(diǎn)，．

   （1）求證：平面；

   （2）求證：平面⊥平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2014屆山東省高二上學(xué)期期末模擬理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

在如圖所示的四棱錐中，已知 PA⊥平面ABCD， ， ，，

為的中點(diǎn)．

（1）求證：MC∥平面PAD；

（2）求直線MC與平面PAC所成角的余弦值；

（3）求二面角的平面角的正切值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆山東省高三第二次質(zhì)量檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

(本小題滿分12分)如圖所示，四棱錐中，為正方形， 分別是線段的中點(diǎn). 求證：

（1）//平面 ； 

（2）平面⊥平面.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆廣東省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本小題14分）如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)棱底面,為的中點(diǎn).

(1)求直線與所成角的余弦值;

(2)在側(cè)面內(nèi)找一點(diǎn),使平面，并分別求出點(diǎn)到和的距離.

 

 

 

 

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