Question

（2011•武漢模擬）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c為非零常數(shù)，n∈N^*），a₁、a₂、a₃組成公比不為1的等比數(shù)列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）記數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和為S_n，求證Sn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，由a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，能求出c的值．
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

c，所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），

1

an

=

1

n2-n+2

．由此能夠證明Sn＜

3

2

．

解答：解：（Ⅰ）由題意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₃，不合題意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）當(dāng)n≥2時(shí)，
∵a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c
=

n(n-1)

2

c，
∵a₁=2，c=2，
∴a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n≥2，n∈N⁺），
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，
所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），
∴

1

an

=

1

n2-n+2

．
當(dāng)n-1時(shí)，S1=

1

a1

=

1

2

＜

3

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，由

1

an

=

1

n2-n+2

=

1

n(n-1)+2

＜

1

n(n+1)

，
得Sn=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+ 

1

an

=

1

2

+

1

2×1

+

1

3×2

+…+

1

n(n-1)

=

3

2

-

1

n

＜

3

2

，
∴Sn＜

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式和數(shù)列的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．