Question

已知函數(shù)，過點(diǎn)P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N．
（1）當(dāng)t=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線MP的方程，由過（1，0）可，代入可得x₁，x₂滿足x²+2tx-t=0．由方程的思想可得，代入可求
解答：解：（1）當(dāng)，--------（2分）

解得或--------（4分）
則函數(shù)f（x）有單調(diào)遞增區(qū)間為--------（5分）
（2）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
∵
∴切線MP的方程為
∴…（8分）
同理，由切線PN也過點(diǎn)（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴（*）

把（*）式代入，得，
因此，函數(shù)g（t）=--------------（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，及導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值即為改點(diǎn)的切線的斜率的應(yīng)用．