Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x-a），a為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）當(dāng)a≤0時，指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不要過程）；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a（a＜0），使得f（x）在閉區(qū)間[-1，

1

2

]上的最大值為2．若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用特殊值代入法即可證明此函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)；（2）將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）先證明函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-1，

1

2

]上取最大值為2時，x必在區(qū)間[-1，0]上，再利用（2）中的結(jié)論，通過討論求函數(shù)在[-1，0]上的最大值，列方程即可解得a的值

解答：解：（1）a=1時，f（x）=|x|（x-1），
∵f（1）=0，f（-1）=-2，
∴f（1）≠-f（-1），f（1）≠f（-1），
∴f（x）既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)．
（2）a=0時，f（x）=|x|x，單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）
a＜0時，f（x）=

x2-ax，x≥0 -x2+ax，x＜0

，
單調(diào)增區(qū)間為（-∞，

a

2

），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（

a

2

，0）
（3）∵a＜0，∴f（-1）=-1-a≤2
∴a≥-3
∴f（

1

2

）=

1

2

（

1

2

-a）≤

7

4

＜2
由（2）知，f（x）在（0，+∞）上遞增
∴f（x）必在區(qū)間[-1，0]上取最大值2
當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時，
則f（-1）=2，a=-3，成立
當(dāng)

a

2

≥-1，即0＞a≥-2時，
則f（

a

2

）=2，則a=±2

2

（舍）
綜上，a=-3

點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)奇偶性的定義及其判斷方法，分段函數(shù)的函數(shù)圖象和性質(zhì)，利用單調(diào)性討論函數(shù)的最值的方法，分類討論的思想方法