Question

拋物線y²=2px上不同兩點(diǎn)A，B（異于原點(diǎn)O）若OA，OB所在直線斜率之和定值m（m≠0）則直線AB必經(jīng)過(guò)（　　）

• A、（0，

  p

  m

  ）
• B、（0，

  2p

  m

  ）
• C、（-

  2p

  m

  ，0）
• D、（-

  p

  m

  ，0）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出拋物線y²=2px上不同兩點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（

y 2 1

2p

，y₁），（

y 2 2

2p

，y₂），結(jié)合OA，OB所在直線斜率之和定值m，可得

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，設(shè)出直線AB的兩點(diǎn)式方程，化簡(jiǎn)后讓x=0，可得直線AB所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A（

y 2 1

2p

，y₁），B（

y 2 2

2p

，y₂），
則kOA=

y1

y 2 1 2p

=

2p

y1

，kOB=

y2

y 2 2 2p

=

2p

y2

，
由已知得：

2p

y1

+

2p

y2

=

2p(y1+y2)

y1•y2

=m，
即

y1+y2

y1•y2

=

m

2p

，即

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，
由直線AB的方程為：

y-y2

y1-y2

=

x- y 2 2 2p

y 2 1 2p - y 2 2 2p

，
整理得：y=

2px+y1•y2

y1+y2

，
當(dāng)x=0時(shí)，y=

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，
故直線必經(jīng)過(guò)（0，

2p

m

）點(diǎn)，
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓錐曲線的關(guān)系，直線的斜率公式，直線的兩點(diǎn)式方程，難度中檔．