Question

等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n，等比數(shù)列{b_n}各項均為正數(shù)，b₁=2，且s₂+b₂=7，s₄-s₃=2．
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)c_n=

a2n-1

a2n

，T_n=c₁•c₂•c₃…c_n   求證：T n≥

1

2 n

（n∈N^*）．

Answer 1

（1）設(shè)等差數(shù)列{a₁}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
由題知：s₂+b₂=7，s₄-b₃=2，
∴d+2q=5，3d-q²+1=0，
解得，q=2或q=-8（舍去），d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=2ⁿ．
（2）證明：∵c_n=

a2n-1

a2n

，
∴cn=

2n-1

2n

，
T_n=

1

2

×

3

4

×

5

6

×…×

2n-1

2n

．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明Tn≥

1

2 n

對一切正整數(shù)成立．
①當(dāng)n=1時，T1=

1

2

≥

2×1-1

2×1

，命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，命題當(dāng)n=k時命題成立，
∴Tk≥

1

2 k

．
則當(dāng)n=k+1時，Tk+1=Tk•

2k+1

2(k+1)

≥

1

2 k

•

2k+1

2(k+1)

=

1

2 k+1

•

2k+1

2 k k+1

=

1

2 k+1

4k2+4k+1 4k2+4k

≥

1

2 k+1

，這就是說當(dāng)n=k+1時命題成立．
綜上所述原命題成立．