Question

一個三棱錐的四個頂點均在直徑為

6

的球面上，它的三條側棱兩兩垂直，若其中一條側棱長是另一條側棱長的2倍，則這3條側棱長之和的最大值為（　　）

• A．3
• B．

  4

  5

  3

• C．

  2

  5

  105

• D．

  2

  5

  21

Answer 1

分析：設三條弦長分別為x，2x，y，求出長方體的對角線的長，用橢圓的參數(shù)方程表示x，y，推出3條弦長之和的表達式，通過三角函數(shù)的化簡輔助角公式，求出最大值．

解答：解：設三條弦長分別為x，2x，y，則：x²+（2x）²+y²=6，即：5x²+y²=6，設

5

6

x=sinθ，

1

6

y=cosθ，
則這3條弦長之和=3x+y=

3 6

5

sinθ+

6

cosθ=

2 105

5

sin（θ+φ），其中tanφ=

5

3

，所以它的最大值為：

2

5

105

．
故選C．

點評：本題是中檔題，考查球的內接多面體的就是問題，三角函數(shù)的化簡與求值，是綜合題目，考查計算能力，空間想象能力．