Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+x-1．
（Ⅰ）若y=-2x+b為f（x）的一條切線，求b值．
（Ⅱ）若f（t）＜-2t+m對t∈（0，2）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（ III）若關(guān)于x的方程f （x）=k恒有三個不相等的實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為（x₀，y₀）．求出切點坐標(biāo)，然后帶入y=-2x+b，求解即可．
（Ⅱ）構(gòu)造g（t）=f（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，求出導(dǎo)數(shù)，得到極值點，利用單調(diào)性，求解最值，推出結(jié)果即可．
（Ⅲ）求出導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的極值，即可推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-3x²+1，…（1分）
設(shè)切點為（x₀，y₀）．故$-3{x_0}^2+1=-2$，∴x₀=±1所以切點為（1，-1），（-1，-1）…（2分）
帶入y=-2x+b得b=1或-3．…（4分）
（Ⅱ）令g（t）=f（t）-（-2t+m）=-t³+3t-1-m，
由g'（t）=-3t²+3=0得t=1，t=-1（不合題意，舍去）．
當(dāng)t變化時g'（t），g（t）的變化情況如下表：

t	（0，1）	1	（1，2）
g'（t）	+	0	-
g（t）	遞增	極大值1-m	遞減

∴g（t）在（0，2）內(nèi)有最大值g（1）=1-m．…（7分）h（t）＜-2t+m在（0，2）內(nèi)恒成立等價于g（t）＜0在（0，2）內(nèi)恒成立，
即等價于1-m＜0，
所以m的取值范圍為m＞1．…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=-3x²+1，由$-3{x^2}+1=0，x=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
 令f′（x）＜0，解得：x＜$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，或x＞$\frac{\sqrt{3}}{3}$
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}＜$x＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的極大值f（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}-1$，極小值f（$-\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1；
直線y=k與y=f（x）的圖象有3個不同交點，
即方程f（x）=k有三解，
∴$k∈（{-\frac{{2\sqrt{3}}}{9}-1，\frac{{2\sqrt{3}}}{9}-1}）$．…（14分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的最值單調(diào)性的應(yīng)用，考查計算能力．