Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，都有a_n=5S_n+1成立．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₄|a_n|，求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}前n項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出a₁=-

1

4

，a_n+1-a_n=5a_n+1，推出數(shù)列是等比數(shù)列，求出a_n=（-

1

4

）n．
（Ⅱ）由b_n=log₄|（-

1

4

）n|=-n，得

1

bn•bn+1

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{

1

bn•bn+1

}前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=5S₁+1，解得a1=-

1

4

．…（2分）
又∵a_n=5S_n+1，a_n+1=5S_n+1+1，
∴a_n+1-a_n=5a_n+1，…（4分）
∴

an+1

an

=-

1

4

，∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=-

1

4

，公比為q=-

1

4

的等比數(shù)列，
∴a_n=（-

1

4

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）解：b_n=log₄|（-

1

4

）ⁿ|=-n，…（8分）
∴

1

bn•bn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（10分）
∴T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意錯位相減法的合理運(yùn)用．