Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,點E在PD上，且PE∶ED=2∶1.

(1)證明PA⊥平面ABCD.

(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的大小.

(3)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC？證明你的結論.

Answer 1

(1)證明:

∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°,

∴AB=AD=AC=a.

    在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²,知PA⊥AB.

    同理，PA⊥AD.

∴PA⊥平面ABCD.

(2)解:作EG∥PA交AD于點G，

    由PA⊥平面ABCD,知EG⊥平面ABCD.

    作GH⊥AC于點H，連結EH，則EH⊥AC,

∠EHG即為二面角θ的平面角.

    又PE∶ED=2∶1,

∴EG=a,AG=a,GH=AGsin60°=a.

    從而tanθ==,θ=30°.

(3)解:當F是棱PC的中點時,BF∥平面AEC.

    證明如下:

    取PE的中點M,連結FM,則FM∥CE,故FM∥平面AEC.                       ①

    由EM=PE=ED,知E是MD的中點.

    連結BM、BD,設BD∩AC=O,則O為BD的中點.

∴BM∥OE.故BM∥平面AEC.                                                        ②

    由①②知,平面BFM∥平面AEC.

    又BF平面BFM,

∴BF∥平面AEC.