（2012•葫蘆島模擬）根據(jù)遼寧省期初教育工作會(huì)議精神，我省所有中小學(xué)全部取消晚自習(xí)，某校高二年級(jí)共有學(xué)生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級(jí)采用分層抽樣的方法從該年級(jí)抽取n名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學(xué)每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學(xué)生中每天晚上有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補(bǔ)全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學(xué)生晚上有效時(shí)間達(dá)到兩小時(shí)”作為是否充分利用時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)抽取的n名學(xué)生，完成下列2×2列聯(lián)表：
利用時(shí)間充分 利用時(shí)間不充分 總計(jì)
走讀生 50 25 75
住宿生 10 15 25
總計(jì) 60 40 100
是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時(shí)間的原因，記抽到“有效學(xué)習(xí)時(shí)間少于60分鐘”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；
參考公式：K2=
n(n11n22-n12n21)2
(n22+n21)(n11+n12)(n11+n21)(n12+n21)
．
分析：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），則由圖能夠求出n的值并能補(bǔ)全頻率分布直方圖．
（2）利用題設(shè)條件，先求出2×2列聯(lián)表，再求出K2，并把K2與3.841進(jìn)行比較，從而得到有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計(jì)20人．則X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X=i）=
C
i
5
C
3-i
15
C
3
20
（i=0，1，2，3），由此能求出X的分布列和EX．
解答：解：（1）設(shè)第i組的頻率為Pi（i=1，2，…，8），則由圖可知：P1=
1
3000
×30=
1
100
，P2=
1
750
×30=
4
100

∴學(xué)習(xí)時(shí)間少于60鐘的頻率為：P1+P2=
5
100
  由題意：n×
5
100
=5∴n=100
又P3=
1
300
×30=
10
100
，P5=
1
100
×30=
30
100
，P6=
1
200
×30=
15
100
，P7=
1
300
×30=
10
100
，P8=
1
600
×30=
5
100
，
∴P4=1-（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=1-
1+4+10+30+15+10+5
100
=1-
75
100
=
25
100

第④組的高度h=
25
100
×
1
30
=
25
3000
=
1
120

頻率分布直方圖如圖：（未標(biāo)明高度1/120扣1分）（4分）
（2）2×2列聯(lián)表如下：
利用時(shí)間充分 利用時(shí)間不充分 總計(jì)
走讀生 50 25 75
住宿生 10 15 25
總計(jì) 60 40 100
K2=
100×(50×15-25×10)2
75×25×40×60
≈5.556
由于K2＞3.841，
所以有95%的把握認(rèn)為學(xué)生利用時(shí)間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組10人，第⑧組5人，總計(jì)20人．
則X的所有可能取值為0，1，2，3
P（X=i）=
C
i
5
C
3-i
15
C
3
20
（i=0，1，2，3）
∴P（X=0）=
C
0
5
C
3
15
C
3
20
=
455
1140
=
91
228
，
P（X=1）=
C
1
5
C
2
15
C
3
20
=
525
1140
=
105
228
=
35
76
，
P（X=2）=
C
2
5
C
1
15
C
3
20
=
150
1140
=
30
228
=
5
38
，
P（X=3）=
C
3
5
C
0
15
C
3
20
=
10
1140
=
2
228
=
1
114

∴X的分布列為：
P 0 1 2 3
X
91
228
35
76
5
38
1
114
EX=0×
91
228
+1×
105
228
+2×
30
228
+3×
2
228
=
1×105+2×30+3×2
228
=
171
228
=
3
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意頻率分布直方圖和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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π
2
），f（x）＜0，則（　�。�

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8
3
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（2）若f（x）與g（x）有交點(diǎn)，且在交點(diǎn)處的切線均為直線y=3x，求a，b的值并證明：在公共定義域內(nèi)恒有f（x）≥g（x）．
（3）設(shè)A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2）），C（t，g（t））是y=g（x）圖象上任意三點(diǎn)，且-
1
2
＜x1＜t＜x2，求證：割線AC的斜率大于割線BC的斜率．

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x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，離心率為
1
2
，過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中A點(diǎn)在x軸上方），則
|AF|
|BF|
的值等于（　�。�

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12
CD=a．
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（3）求點(diǎn)D到平面PBC的距離．

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