Question

過點(diǎn)S引三條不共面的直線SA、SB、SC，如圖，∠BSC=90°，∠ASC=∠ASB=60°，若截取SA=SB=SC=a．

(1)求證：平面ABC⊥平面BSC；

(2)求S到平面ABC的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)證法1：∵SA=SB=SC=a， 又∠ASC=∠ASB=60°， ∴△ASB和△ASC都是等邊三角形． ∴AB=AC=a． 取BC的中點(diǎn)為H，連結(jié)AH，則AH⊥BC． 在Rt△BSC中，BS=CS=a， ∴SH⊥BC，BC=． ∴．∴． 在△SHA中，∵， ∴．∴AH⊥SH． ∴AH⊥平面SBC． ∴AH平面ABC，∴平面ABC⊥平面SBC． 證法2：∵SA=AC=AB， ∴頂點(diǎn)A在平面BSC內(nèi)的射影H為△BSC的外心． 又△BSC為直角三角形，∴H在斜邊BC上． 又△BSC為等腰直角三角形， ∴H為BC的中點(diǎn)． ∴AH⊥平面BSC． ∵AH平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC． (2)解：由前所證：SH⊥AH，SH⊥BC，∴SH⊥平面ABC． ∴的長即為點(diǎn)S到平ABC有距離．又， ∴點(diǎn)S到平面ABC的距離為． 要證明平面ABC⊥平面BSC，根據(jù)面面垂直的判定定理，需在平面ABC或平面BSC內(nèi)找到一條與另一個(gè)平面垂直的直線．