Question

已知

a

=(1，sin2θ)，

b

=(1，2cos2θ)，(2θ∈(

π

2

，π))且

a

+

b

=(2，0)，
（1）求tanθ值？
（2）求

2sin2 θ 2 +sinθ-1 2 sin(θ+ π 4 )

的值．

Answer 1

分析：（1）由向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得sin2θ+2cos2θ=0，從而可得tan2θ=-2，利用二倍角公式即可求得tanθ的值；
（2）利用降冪公式與兩角和的正弦可將所求關(guān)系式轉(zhuǎn)化為

tanθ-1

tanθ+1

，將（1）中tanθ的值代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵

a

+

b

=（2，sin2θ+2cos2θ）=（2，0），
∴sin2θ+2cos2θ=0，tan2θ=-2…2分
又tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=-2，
∴tan²θ-2tanθ-1=0，tanθ＞0，
∴tanθ=1+

2

…6分
（2）

2sin2 θ 2 +sinθ-1 2 sin(θ+ π 4 )

=

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

=

tanθ-1

tanθ+1

=

2

-1…12分

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，突出考查二倍角的正弦與正切，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算能力，屬于中檔題．