Question

設函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c，給出下列4個命題：
①b=0，c＞0時，f（x）=0只有一個實數(shù)根；　②c=0時，y=f（x）是奇函數(shù)；
③y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱；　　 ④方程f（x）=0至多有2個實數(shù)根
其中真命題的個數(shù)是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：本題考查的知識點是，判斷命題真假，同時考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c的圖象關于（0，c）對稱，結(jié)合b、c的取值情況，對四個結(jié)論逐一判斷，可以得到正確結(jié)論．
解答：b=0時，原函數(shù)化為因為c＞0，所以當x＞0時，函數(shù)頂點在x軸上方且開口向上，圖象與x軸無交點，當x＜0時，圖象頂點在x軸上方且開口向下，圖象與x軸只有一個交點，故方程f（x）=0只有一個實數(shù)根，命題①正確．
當c=0時，數(shù)f（x）=|x|x+bx，定義域關于原點對稱，f（-x）=|-x|（-x）+b（-x）=-（|x|x+bx）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)，故②命題正確．
因為f（x）=|x|x+bx為奇函數(shù)，所以圖象關于（0，0）對稱，而f（x）=|x|x+bx+c是把f（x）=|x|x+bx向上或向下平移了|c|各單位，所以y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故命題③正確．
對于命題④，只需舉一個反例，如b=-3，c=1方程f（x）=0就可化為x²-3x+1=0（x＞0）或-x²-3x+1=0（x＜0），求出方程有3個解，所以命題④不正確．
故選C
點評：把函數(shù)f（x）=|x|x+bx+c進行分段是處理該問題的關鍵，同時注意數(shù)形結(jié)合的解題思想．