Question

平行四邊形ABCD中，AB=2，AD=2

2

，且∠BAD=45°，以BD為折線，把△ABD折起，使平面ABD⊥平面CBD，連AC．
（Ⅰ）求證：AB⊥DC       
（Ⅱ）求二面角B-AC-D平面角的大小；
（Ⅲ）求四面體ABCD外接球的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABD中，利用余弦定理，可得BD，從而可得AB⊥BD，根據(jù)平面ABD⊥平面CBD，可得AB⊥平面CBD，從而可得AB⊥DC；       
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABC的法向量

n

=(1，1，0)，平面DAC的法向量

n′

=(1，0，-1)，利用向量的夾角公式，可得二面角B-AC-D平面角的大小；
（Ⅲ）根據(jù)△ABC，△ADC均為直角三角形，可得四面體ABCD的外接球球心是AC的中點，從而可求四面體ABCD外接球的體積．

解答：（Ⅰ）證明：在△ABD中，∵AB=2，AD=2

2

，BD²=AB²+AD²-2AB×AD×cos45°=4，∴BD=2，
∴AD²=AB²+BD²，∴AB⊥BD，
∵平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD=BD
∴AB⊥平面CBD，
∵DC?平面CBD，
∴AB⊥DC；       
（Ⅱ）解：在四面體ABCD中，以D為原點，DB為x軸，DC為y軸，過D垂直于平面BDC的射線為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．

則D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A（2，0，2）
設(shè)平面ABC的法向量為

n

=(x，y，z)
∵

BA

=(0，0，2)，

BC

=(-2，2，0)
∴

2z=0 -2x+2y=0

，∴取

n

=(1，1，0)
設(shè)平面DAC的法向量為

n′

=(x′，y′，z′)
∵

DA

=(2，0，2)，

DC

=(0，2，0)
∴

2x+2z=0 2y=0

，∴取

n′

=(1，0，-1)
∴cos＜

n

，

n′

＞=

n • n′

| n || n′ |

=

1

2

∴二面角B-AC-D平面角的大小為60°；
（Ⅲ）解：由于△ABC，△ADC均為直角三角形，故四面體ABCD的外接球球心是AC的中點
∵AC=2

3

，∴R=

3

∴四面體ABCD外接球的體積為

4

3

×π×(

3

)3=4

3

π．

點評：本題考查面面垂直，考查線面垂直，考查面面角，考查四面體ABCD外接球的體積，考查利用向量的方法解決面面角問題，確定平面的法向量是關(guān)鍵．