Question

已知以拋物線y²=4x過焦點的弦為直徑且圓心在第四象限的圓截y軸所得弦長為4，那么該圓的方程是

（x-

3

2

）²+（y+1）²=

25

4

．

Answer 1

分析：設(shè)直線與拋物線的交點坐標(biāo)（x₁，y₁），（x₂，y₂），由拋物線定義可得半徑r與圓心（x₀，y₀）的關(guān)系，再由圓截y軸弦長和勾股定理得r與與圓心（x₀，y₀）的關(guān)系，從而解得r和x₀．再設(shè)過焦點的直線方程為x=ay+1，聯(lián)立拋物線方程，分別消去x，y得到x₀、y₀和a的關(guān)系，從而求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)過焦點的直線與拋物線交點A、B坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
圓心C即AB的中點（x₀，y₀），
由拋物線定義得，|AB|=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2=2x₀+2，
∴r=x₀+1，
∵圓截y軸所得的弦長為4
∴由勾股定理得，r²=4+x₀²，即

r=x0+1 r2=4+x02

，
解得x₀=

3

2

，∴r=

5

2

，
設(shè)過焦點的直線方程為x=ay+1，則

x=ay+1 y2=4x

，
消去x得y²-4ay-4=0，∴y₁+y₂=4a，即y₀=2a
消去y得x²-（2+4a²）x+1=0，∴x₁+x₂=2+4a²，
即x₀=1+2a²=

3

2

，解得a=±

1

2

，
∵圓心在第四象限，∴a=-

1

2

，
∴y₀=2a=-1，所以該圓的方程是（x-

3

2

）²+（y+1）²=

25

4

．
故答案為：（x-

3

2

）²+（y+1）²=

25

4

．

點評：本題考查圓的方程的求法，具體涉及到拋物線的簡單性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、焦點弦公式等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．