Question

[必做題]
已知整數(shù)n≥4，集合M={1，2，3，…n}的所有3個(gè)元素的子集記為A₁，A₂，…，A_C．
（1）當(dāng)n=5時(shí)，求集合A₁，A₂，…，A_C中所有元素之和；
（2）設(shè)m_i為A_i中的最小元素，設(shè)p_n=m₁+m₂+…+m_c，試求p_n（用n表示）．

Answer 1

分析：（1）由題意可知集合A中的元素，組成集合A的子集的元素，出現(xiàn)的概率相等，求出每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)，即可求出所有元素的和．
（2）若m_i為A_i中的最小元素，則應(yīng)有1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，若1為某個(gè)子集的最小元素，則這樣的子集個(gè)數(shù)2為某個(gè)子集的最小元素，則這個(gè)集合中，必不再有1，另外兩元素取自剩余的n-2個(gè)數(shù)字中，有

C

2 n-2

個(gè)，…，以n-2為最小元素的子集有

C

2 2

個(gè)，利用組合數(shù)性質(zhì)可求

解答：解：（1）當(dāng)n=5時(shí)，含元素1的子集中，必有除1以外的兩個(gè)數(shù)字，兩個(gè)數(shù)字的選法有個(gè)，所以含有數(shù)字1的幾何有6個(gè)．同理含2，3，4，5的子集也各有6個(gè)，
于是所求元素之和為（1+2+3+4+5）×15=90
（2）證明：不難得到1≤m_i≤n-2，m_i∈Z，并且以1為最小元素的子集有個(gè)，以2為最小元素的子集有

C

2 n-2

個(gè)，以3為最小元素的子集有

C

2 n-3

，…以n-2為最小元素的子集有

C

2 2

個(gè)
∴p_n=m₁+m₂+…+m_c=1×

C

2 n-1

+2

C

2 n-2

+…+(n-2)

C

2 2

=(n-2)

C

2 2

+(n-3)

C

2 3

+…+

C

2 n-1

=

C

2 2

+（n-3）（

C

2 2

+

C

2 3

）+（n-4）

C

2 4

+…+

C

2 n-1

=

C

2 2

+(n-3)(

C

3 3

+

C

2 3

)+(n-4)

C

2 4

+…

+C

2 n-1

=

C

2 2

+

C

3 4

+（n-3）（

C

2 4

+

C

3 4

）+…+

C

2 n-1

=

C

2 2

+

C

3 4

+（n-4）

C

3 5

+…+

C

2 n-1

=

C

4 4

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 n+1

點(diǎn)評：本題考查了子集的概念，組合的概念及性質(zhì)，分類討論的思想方法，考查推理、計(jì)算能力．兩題中得出含有相關(guān)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是關(guān)鍵．