Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=（n∈N^*），且滿(mǎn)足a_i（a_i-1）＜m（m為常數(shù)，且為整數(shù)）．
（1）求證：為{-1}等比數(shù)列；
（2）求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由遞推式a_n+1=（n∈N^*）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以轉(zhuǎn)化為，即，構(gòu)造得出等比數(shù)列{}
（2）通過(guò)數(shù)列{}的通項(xiàng)公式求出a_i（a_i-1）=（i=1，2，3，…），利用放縮法求的2≤a_i（a_i-1）≤3，故m的最小值為3．
解答：解：（1）由a_n+1=（n∈N^*），得，即，
又=，
所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
（2）由（1）得==-，
∴a_n=，故a_i（a_i-1）=（i=1，2，3，…）
當(dāng)i≥2時(shí)，a_i（a_i-1）=＜==-，
故a_i（a_i-1）=+=3-＜3，
又a_i（a_i-1）=≥=2，
故m的最小值為3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式和通項(xiàng)公式，不等式恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造、放縮的解題和證明方法．