已知a>0,n為正整數(shù).

1)設y=(x-a)n,證明y¢=n(x-a)n-1;

2)設fn(x)=xn-(x-a)n,對任意n³a,證明f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n)

答案:
解析:

本小題主要考查導數(shù)、不等式證明等知識,考查綜合運用所學數(shù)學知識解決問題的能力.

證明:(1)因為,

所以

(2)對函數(shù)fn(x)=xn-(x-a)n求導數(shù):

f¢n(x)=nxn-1-n(x-a)n-1,所以f¢n(n)=n[nn-1-(n-a)n-1].

x³a>0時,fn¢(x)>0,∴ 當x³a時,fn(x)=xn-(x-a)n是關于x的增函數(shù).

因此,當n³a時,(n+1)n-(n+1-a)n>nn-(n-a)n

f¢n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1-a)n]>(n+1)(nn-(n-a)n)

>(n+1)(nn-(n-a)n-1)=(n+1)fn¢(n).

即對任意n³a,f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n).


練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:044

已知a>0,n為正整數(shù).(1)設y=(x-a)n,證明y¢=(x-a)n-1;

2)設fn(x)=xn-(x-a)n,對任意n³a,證明f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n).

 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:044

已知a>0,n為正整數(shù)。

1)設y=(x-a)n,證明y¢=n(x-a)n-1;

2)設fn(x)=xn-(x-a)n,對任意n³a,證明:。

 

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科目:高中數(shù)學 來源:數(shù)學教研室 題型:044

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2)設fn(x)=xn-(x-a)n,對任意n³a,證明f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n).

 

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2)設fn(x)=xn-(x-a)n,對任意n³a,證明f¢n+1(n+1)>(n+1)f¢n(n)

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