Question

（08年福建卷文）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P―ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點.

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求點A到平面PCD的距離。

Answer 1

解析：（Ⅰ）、本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點到平面的距離等基本知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力和運(yùn)算能力。

解法一：

（Ⅰ）證明：在△PAD卡中PA＝PD，O為AD中點，所以PO⊥AD.

又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，

有OD∥BC且OD＝BC，所以四邊形OBCD是平行四邊形，

所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO為銳角，

所以∠PBO是異面直線PB與CD所成的角.

因為AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝，

在Rt△POA中，因為AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，PB＝,

，

所以異面直線PB與CD所成的角的余弦值為.

（Ⅲ）由（Ⅱ）得CD＝OB＝，

在Rt△POC中，PC＝，

所以PC＝CD＝DP，S_△PCD=?2=。

又

設(shè)點A到平面PCD的距離h，

由V_P-ACD=V_A-PCD，

得S_△ACD?OP＝S_△PCD?h，

即×1×1＝××h，

解得。

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）以O為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，,依題意，易得，

    所以

    ．

所以異面直線與所成的角是．

（Ⅲ）設(shè)平面的法向量為.

由（Ⅱ）得

則    所以    即，

取,得平面的一個法向量為.

又。

從而點A到平面的距離