Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)C滿足：△ABC的周長為2+2，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）曲線W上是否存在這樣的點(diǎn)P：它到直線x=-1的距離恰好等于它到點(diǎn)B的距離？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）設(shè)E曲線W上的一動(dòng)點(diǎn)，M（0，m），（m＞0），求E和M兩點(diǎn)之間的最大距離．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由：△ABC的周長為2+2，得到兩邊BC與AC的長度和，又點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），符合橢圓定義，所以W的方程可求；
（Ⅱ）若線W上存在這樣的點(diǎn)P：它到直線x=-1的距離恰好等于它到點(diǎn)B的距離，說明點(diǎn)P又在拋物線在y²=4x上，聯(lián)立橢圓和拋物線方程即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅲ）把動(dòng)點(diǎn)E的坐標(biāo)僅用y表示，然后直接寫出E和M兩點(diǎn)之間的距離，距離中只含有參數(shù)m，對m進(jìn)行分類討論求解距離的最大值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)C（x，y），∵△ABC的周長為，∴，
又|AB|=2，∴，
根據(jù)橢圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓（除去與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)）．
從而，b²=a²-c²=1
∴W的方程為（y≠0）；   
（Ⅱ）存在兩個(gè)點(diǎn)和滿足題意．
事實(shí)上，假設(shè)存在點(diǎn)P滿足題意，則點(diǎn)P為拋物線y²=4x與曲線（y≠0）的交點(diǎn)，
由消去y得：x²+8x-2=0．
解得或（舍去）．
把代人拋物線的方程得．
所以存在兩個(gè)點(diǎn)和滿足題意．
（Ⅲ）設(shè)E（x，y），則由（y≠0）得x²=2-2y²（-1≤y≤1，且y≠0）=．
若-m＜-1，即m＞1時(shí)，當(dāng)y=-1時(shí)，；
若-1≤-m＜0，即0＜m≤1時(shí)，當(dāng)y=-m時(shí)，．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓和拋物線的定義，考查了方程組的求解方法，訓(xùn)練了利用分類討論求函數(shù)最值，是中檔題．