Question

如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F(xiàn) 分別是PC，PB的中點，記平面AEF與平面ABC的交線為直線l．
（Ⅰ）求證：直線l⊥平面PAC；
（Ⅱ）直線l上是否存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用三角形中位線定理推導出BC∥面EFA，從而得到BC∥l，再由已知條件推導出BC⊥面PAC，由此證明l⊥面PAC．
（2）以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求出直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1．

解答： （Ⅰ）證明：∵E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，∴BC∥EF，
又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，
∴BC∥面EFA，
又BC?面ABC，面EFA∩面ABC=l，
∴BC∥l，
又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，
面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，
∴l(xiāng)⊥面PAC．
（2）解：以C為坐標原點，CA為x軸，CB為y軸，
過C垂直于面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，

3

），
E（

1

2

，0，

3

2

），F(xiàn)（

1

2

，2，

3

2

），

AE

=(-

3

2

，0，

3

2

)，

EF

=(0，2，0)，
設(shè)Q（2，y，0），面AEF的法向量為

m

=(x，y，z)，
則

AE • m =- 3 2 x+ 3 2 z=0 EF • m =2y=0

，
取z=

3

，得

m

=(1，0，

3

)，

PQ

=(1，y，-

3

)，
|cos＜

PQ

，

EF

＞|=|

2y

2 4+y2

|=

|y|

4+y2

，
|cos＜

PQ

，

m

＞|=|

1-3

2 4+y2

|=

1

4+y2

，
依題意，得|cos＜

PQ

，

EF

＞|=|cos＜

PQ

，

m

＞|，
∴y=±1．
∴直線l上存在點Q，使直線PQ分別與平面AEF、直線EF所成的角互余，|AQ|=1．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．