Question

如圖所示的多面體中， 是菱形，是矩形，平面，，．

(1) 求證：平面平面；

(2) 若二面角為直二面角，求直線與平面所成的角的正弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析 （2）

【解析】

試題分析：

（1）根據(jù)面面平行的判斷，要證明平面平面AED，只需要證明面FCB內(nèi)兩條相交的直線FB,BC與面AED平行，而BF與ED平行，BC與AD平行，即可得到兩相交直線都與面AED平行，進(jìn)而得到面面平行.

（2）該題方法比較多，可以利用幾何法和坐標(biāo)法，在此重點(diǎn)解析幾何法，延長(zhǎng)到，使,由已知可得，是平行四邊形，又矩形，所以是平行四邊形，共面，由上證可知，　，,相交于，平面，為所求.

試題解析：

（1）矩形中， 1分

平面，平面,平面， 2分

同理平面, 3分

又 平面∥平面 4分

（2）取的中點(diǎn).

由于面, ∥,

又是菱形， 是矩形，

所以，是全等三角形，

所以，就是二面角的平面角 8分

解法1（幾何方法）：

延長(zhǎng)到，使,由已知可得，是平行四邊形，又矩形，所以是平行四邊形，共面，由上證可知，　，,相交于，平面，為所求.

由,,得

等腰直角三角形中，,可得

直角三角形中,

解法2幾何方法）：由，，得平面，欲求直線與平面所成的角，先求與所成的角. 12分

連結(jié)，設(shè)則在中，，，用余弦定理知 14分

解法3（向量方法）：以為原點(diǎn)，為軸、為軸

建立如圖的直角坐標(biāo)系，由則，

，平面的法向量， 12分

. 14分

考點(diǎn)：面面平行的證明 線面平行 二面角 直二面角 坐標(biāo)法