Question

（2009•奉賢區(qū)一模）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足an+1=

an2+3

4

，(n∈N*)．
（1）當(dāng){a_n}是常數(shù)列時(shí)，求a₁的值；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：若a₁為奇數(shù)，則對(duì)一切n≥2，a_n都是奇數(shù)；
（3）若對(duì)一切n∈N^*，都有a_n+1＞a_n，求a₁的取值范圍；
（4）以上（1）（2）（3）三個(gè)問題是從數(shù)列{a_n}的某一個(gè)角度去進(jìn)行研究的，請(qǐng)你類似地提出一個(gè)與數(shù)列{a_n}相關(guān)的數(shù)學(xué)真命題，并加以推理論證．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)常數(shù)數(shù)列建立a_n=a_n+1，求出a_n即可；
（2）n=1，2時(shí)由已知得a₁是奇數(shù)，假設(shè)n=k時(shí)a_k是奇數(shù)，不妨設(shè)a_k=2m-1是奇數(shù)，再證a_k+1是奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法得結(jié)論；
（3）證明充要條件需證明兩方面，一證充分性、二證必要性，根據(jù)an+1-an=

1

4

(an-1)(an-3)知，a_n+1＞a_n當(dāng)且僅當(dāng)a_n＜1或a_n＞3，可求出a₁的取值范圍，再證明即可；
（4）此題是開放題，答案不唯一，若對(duì)一切n∈N^*，{a_n}是等差數(shù)列，求a₁的取值范圍．設(shè)公差d，則根據(jù)前幾項(xiàng)進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）an=an+1=

an2+3

4

，an=1，或an=3，∴a₁=1，或a₁=3（（3分），一解2分）
（2）證明：易證n=1，2時(shí)由已知得a₁是奇數(shù)，
假設(shè)n=k時(shí)a_k是奇數(shù)，不妨設(shè)a_k=2m-1是奇數(shù)，其中m為正整數(shù)，
則由遞推關(guān)系得ak+1=

ak2+3

4

=m(m-1)+1是奇數(shù)．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何n∈N₊，a_n都是奇數(shù)．（5分）
（3）由an+1-an=

1

4

(an-1)(an-3)知，a_n+1＞a_n當(dāng)且僅當(dāng)a_n＜1或a_n＞3．
得0＜a₁＜1或a₁＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，則0＜ak+1＜

1+3

4

=1；若a_k＞3，則ak+1＞

32+3

4

=3．
根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，0＜a₁＜1，?0＜a_n＜1，?n∈N₊；a₁＞3?a_n＞3，?n∈N₊．
綜合所述，對(duì)一切n∈N₊都有a_n+1＞a_n的充要條件是0＜a₁＜1或a₁＞3．（5分）
（4）此題是開放題，答案不唯一
若對(duì)一切n∈N^*，{a_n}是等差數(shù)列，求a₁的取值范圍．
設(shè)公差d，則

a2=a1+d，a2= a 2 1 +3 4 ⇒a1+d= a 2 1 +3 4 a3=a1+2d，a3= a 2 2 +3 4 ⇒a1+2d= (a1+d)2+3 4

⇒4d=2a₁d+d²
d=0時(shí)由（1）知常數(shù)列，a₁=1或a₁=3是等差數(shù)列（3分）
d=4-2a₁時(shí)，解出a1=

17

-2，d=8-2

17

，a2=6-

17

，a3=14-3

17

∴a4=a3+d=22-5

17

，a4=

a 2 3 +3

4

=88-21

17

矛盾！不可能成等差數(shù)（2分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用，同時(shí)考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和開放題的應(yīng)用，屬于中檔題．