Question

已知點P到點A（1，0），B（a，4）和到直線x=-1的距離都相等，如果這樣的點P有且只有一個，那么實數(shù)a等于（　　）

• A、1
• B、2
• C、2或-2
• D、1或-1

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由點P（x，y）到點A（1，0），到直線x=-1的距離都相等，可得P的軌跡是拋物線：y²=4x，且滿足（x-a）²+（y-4）²=（x+1）²．把y²=4x代入第二個方程可得：

1-a

2

y2-8y+a2+15=0．（*）對a分類討論，利用判別式與方程實數(shù)根的關(guān)系即可得出．

解答： 解：由點P（x，y）到點A（1，0），到直線x=-1的距離都相等，
則P的軌跡是拋物線：y²=4x，且滿足（x-a）²+（y-4）²=（x+1）²．
把y²=4x代入第二個方程可得：

1-a

2

y2-8y+a2+15=0．（*）
要使?jié)M足條件的點P有且只有一個．
a=1，（*）化為y=2，代入拋物線方程x=1，可得p（1，2）只有一個，滿足條件．
當(dāng)a≠1時，（*）只有一解，則△=0，化為（a+1）（a²-2a+17）=0，解得a=-1．
綜上可得：a=-1或1．
故選：D．

點評：本題考查了兩點之間的距離公式、拋物線的定義、一元二次方程有實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．