Question

已知M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），且y=

OM

•

ON

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）
（Ⅰ）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為2009，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）題目給出了兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即兩向量

OM

和

ON

的坐標(biāo)，直接運(yùn)用兩向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可求函數(shù)f（x）．
（Ⅱ）把求出的函數(shù)表達(dá)式化積后求其在x∈[0，

π

2

]時(shí)的最大值，由最大值等于2009可以求a的值．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span id="dlobslc" class="MathJye">M(1+cos2x，1)，N(1，

3

sin2x+a)
所以f(x)=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a．
（Ⅱ）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a
因?yàn)?≤x≤

π

2

，所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）_max=3+a
所以3+a=2009，解得a=2006．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了三角函數(shù)的化積問(wèn)題，三角函數(shù)的化積是常見題型，應(yīng)重點(diǎn)掌握．