Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求曲線在點的切線方程；
（2）對一切,恒成立,求實數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)時，試討論在內(nèi)的極值點的個數(shù).

Answer 1

(1) ；(2)實數(shù)的取值范圍為；
(3)當(dāng)，在內(nèi)的極值點的個數(shù)為1；當(dāng)時, 在
內(nèi)的極值點的個數(shù)為0.

試題分析：(1)切點的導(dǎo)函數(shù)值，等于過這點的切線的斜率，由直線方程的點斜式即得所求.
(2)由題意:,轉(zhuǎn)化成，只需確定的最大值.
設(shè),利用導(dǎo)數(shù)研究其最大值.
(3)極值點處的導(dǎo)函數(shù)值為零.
問題可轉(zhuǎn)化成研究在內(nèi)零點的個數(shù).
注意到， ，因此，討論，時，在內(nèi)零點的個數(shù)，使問題得解.
本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，方法比較明確，分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，是解決問題的關(guān)鍵.
試題解析：(1) 由題意知,所以
又，
所以曲線在點的切線方程為         4分
(2)由題意:,即
設(shè),則
當(dāng)時,；當(dāng)時,
所以當(dāng)時，取得最大值
故實數(shù)的取值范圍為.                       9分
(3) ，， 
①當(dāng)時, ∵
∴存在使得 
因為開口向上，所以在內(nèi),在內(nèi)
即在內(nèi)是增函數(shù), 在內(nèi)是減函數(shù)
故時，在內(nèi)有且只有一個極值點, 且是極大值點.       11分
②當(dāng)時,因
又因為開口向上
所以在內(nèi)則在內(nèi)為減函數(shù)，故沒有極值點    13分
綜上可知：當(dāng)，在內(nèi)的極值點的個數(shù)為1；當(dāng)時, 在
內(nèi)的極值點的個數(shù)為0.                       14分