(2010•臺州二模)已知兩點M(2,3),N(2,-3)在橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上,斜率為
1
2
的直線l與橢圓C交于點A,B(A,B在直線MN兩側(cè)),且四邊形MANB面積的最大值為12
3
.w
(I)求橢圓C的方程;
(II)若點N到直線AM,BM距離的和為6
2
,試判斷△MAB的形狀.
分析:(I)設(shè)直線l的方程為y=
1
2
x+m
(m∈R),代入b2x2+a2y2=a2b2得:(b2+
a2
4
)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1,2,y1,2∈R),則x1+x2=-
ma2
b2+
a2
4
x1x2=
ma2-a2b2
b2+
a2
4
,再由SMANB=
1
2
|MN|•|x1-x2|=
1
2
|MN|•
(x1+x2)2-4x1x2
=3•|MN|•
4a2b4+a4b2-4a2b2m2
b2+
a2
4
能求出橢圓C的方程.
(II)設(shè)直線MA、MB的方程分別為y=k1(x-2)+3(5)y=k2(x-2)+3(k1,2∈R),得:(16k12+12)x2+(96k1-64k12)x+64k12-192k1-48=0,得A(
8k12-24k1-6
4k12+3
-12k12-12k1+9
4k12+3
)
,同理:B(
8k22-24k2-6
4k22+3
-12k22-12k2+9
4k22+3
)
,所以
kAB=
y1-y2
x1-x2
=
-12k12-12k1+9
4k12+3
-
-12k22-12k2+9
4k22+3
8k12-24k1-6
4k12+3
-
8k22-24k2-6
4k22+3
=
1
2
,由此能夠證明△MAB直角三角形.
解答:解:(I)設(shè)直線l的方程為y=
1
2
x+m
(m∈R),
代入b2x2+a2y2=a2b2
得:(b2+
a2
4
)x2+ma2x+a2m2-a2b2=0

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1,2,y1,2∈R)
x1+x2=-
ma2
b2+
a2
4
,x1x2=
ma2-a2b2
b2+
a2
4
,------(3分)
SMANB=
1
2
|MN|•|x1-x2|=
1
2
|MN|•
(x1+x2)2-4x1x2

=3•|MN|•
4a2b4+a4b2-4a2b2m2
b2+
a2
4

顯然當m=0時,SMANB=3•|MN|•
4a2b4+a4b2
b2+
a2
4
=12
3
(1)
由題意|MN|=6 (2)
4b2+9a2=a2b2(3)------(5分)
聯(lián)立(1)、(2)、(3)解得:a2=16,b2=12,
即橢圓C的方程為:
x2
16
+
y2
12
=1
.(4)------(7分)
(II)設(shè)直線MA、MB的方程分別為y=k1(x-2)+3(5)y=k2(x-2)+3(k1,2∈R)
將(5)代入(4)得:(16k12+12)x2+(96k1-64k12)x+64k12-192k1-48=0------(9分)
2x1=
64k12-192k1-48
16k12+12
,
x1=
8k12-24k1-6
4k12+3

A(
8k12-24k1-6
4k12+3
,
-12k12-12k1+9
4k12+3
)

同理:B(
8k22-24k2-6
4k22+3
-12k22-12k2+9
4k22+3
)

kAB=
y1-y2
x1-x2
=
-12k12-12k1+9
4k12+3
-
-12k22-12k2+9
4k22+3
8k12-24k1-6
4k12+3
-
8k22-24k2-6
4k22+3
=
1
2
------(12分)
化簡得:k12=k22,
∵k1≠k2
∴k1=-k2
即直線MA與MB關(guān)于直線MN對稱,
∴∠AMN=∠BMN------(14分)
∴N到直線MA與MB距離均為3
2

又|MN|=6,
∴∠AMN=∠BMN=
π
4
,
∠AMB=
π
2

故△MAB直角三角形.------(15分)
點評:本題主要橢圓方程的求法,判斷三角形的形狀.解題時要熟練掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識.考查運算求解能力,推理論證能力.綜合性強,是高考的重點,易錯點是橢圓的知識體系不牢固.解題時要認真審題,注意化歸與轉(zhuǎn)化思想的靈活運用.
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2
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x2
a2
+
y2
b2
=1
外,則過P0作橢圓的兩條切線的切點為P1,P2,則切點弦P1P2所在直線方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1
.那么對于雙曲線則有如下命題:若P0(x0,y0)在雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
外,則過P0作雙曲線的兩條切線的切點為P1,P2,則切點弦P1P2的所在直線方程是
x0x
a2
-
y0y
b2
=1
x0x
a2
-
y0y
b2
=1

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