Question

設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

的最大值為g（a）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）設(shè)t=

1+x

+

1-x

，把函數(shù)f（x）表示為t的函數(shù)h（t），并寫出定義域；
（3）求g（a），并求當(dāng)a＞-

1

2

時滿足g(a)=g(

1

a

)的實數(shù)a的取值集合．

Answer 1

分析：（1）由題意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

，解不等式組可求函數(shù)f（x）的定義域
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．結(jié)合x∈[-1，1]可求t的取值范圍，由

1-x2

=

1

2

t2-1可求h（t）
（3）由題意知g（a）即為函數(shù)h(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．注意到直線t=-

1

a

是拋物線h(t)=

1

2

at2+t-a的對稱軸，分以下幾種情況討論：
①當(dāng)a＞0時②當(dāng)a=0時，③當(dāng)a＜0可分別結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求g（a），然后代入g(a)=g(

1

a

)的所有實數(shù)a的取值集合

解答：解：（1）由題意得

1-x2≥0 1+x≥0 1-x≥0

得

-1≤x≤1 x≥-1 x≤1

∴函數(shù)f（x）的定義域為[-1，1]．（4分）
（2）由t=

1+x

+

1-x

平方得t2=2+2

1-x2

．由x∈[-1，1]得，t²∈[2，4]，
所以t的取值范圍是[

2

，2]．
又

1-x2

=

1

2

t2-1，∴h(t)=a(

1

2

t2-1)+t．
即h(t)=

1

2

at2+t-a，定義域為[

2

，2]．（8分）
（3）由題意知g（a）即為函數(shù)h(t)=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．
注意到直線t=-

1

a

是拋物線h(t)=

1

2

at2+t-a的對稱軸，分以下幾種情況討論：
①當(dāng)a＞0時，函數(shù)y=h(t)，t∈[

2

，2]的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由t=-

1

a

＜0知y=h（t）在[

2

，2]上單調(diào)遞增，∴g（a）=h（2）=a+2．
②當(dāng)a=0時，h（t）=t，t∈[

2

，2]，∴g（a）=h（2）=2．
③當(dāng)a＜0時，函數(shù)y=h(t)，t∈[

2

，2]的圖象是開口向下的拋物線的一段，t=-

1

a

＞0．
a若t=-

1

a

∈(0，

2

)，即a＜-

2

2

時，則g(a)=h(

2

)=

2

；
b若t=-

1

a

∈[

2

，2]，即-

2

2

≤a≤-

1

2

時，則g(a)=h(-

1

a

)=-a-

1

2a

；
c若t=-

1

a

∈(2，+∞)，即-

1

2

＜a＜0時，則g（a）=h（2）=a+2；
綜上有g(a)=

a+2         a＞- 1 2 -a- 1 2a      - 2 2 ≤a≤- 1 2 2              a＜- 2 2

．（14分）
當(dāng)a＞0時，

1

a

＞0，g(

1

a

)=

1

a

+2，由g(a)=g(

1

a

)得，a+2=

1

a

+2，a=±1．∴a=1．
當(dāng)-

1

2

＜a＜0時，

1

a

＜-2，此時g(a)=a+2，g(

1

a

)=

2

，由a+2=

2

解得a=

2

-2與a＞-

1

2

矛盾．
∴滿足g(a)=g(

1

a

)的所有實數(shù)a的取值集合是：{1}．（18分）

點評：本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解及利用換元求解函數(shù)的值域，解答本題的 難點在于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求解的應(yīng)用，本題具有一定的綜合性．