Question

已知離心率為的橢圓C₁：（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁、F₂，圓C₂：x²+y²=b²與直線l：相切．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）如果直線l繞著它與x軸的交點旋轉(zhuǎn)，且與橢圓相交于P₁、P₂兩點，設(shè)直線P₁F₁與P₂F₁的斜率分別為k₁和k₂，求證：k₁+k₂=0．

Answer 1

解：（1）∵圓心到直線的距離等于半徑，
∴．
∵，
∴，a²=2b²=8，
所以橢圓方程為 ．
（2）當直線l繞著它與x軸的交點旋轉(zhuǎn)，可設(shè)直線為y=k（x+4），
它與橢圓相交于P₁、P₂兩點，
設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-2，0），
，
，
k₁+k₂=+
=
=…（1）
聯(lián)立與y=k（x+4）得
（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，
，
代入（1）式則有
k₁+k₂=．
分析：（1）由圓心到直線的距離等于半徑，知．由 ，知a²=2b²=8，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線為y=k（x+4），它與橢圓相交于P₁、P₂兩點，設(shè)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），F(xiàn)₁（-2，0），，，k₁+k₂=．聯(lián)立與y=k（x+4）得（2k²+1）x²+16k²x+32k²-8=0，由韋達定理能夠證明k₁+k₂=0．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質(zhì)，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用．