Question

已知數(shù)列a_n滿足a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*），數(shù)列b_n滿足b₁=1，（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*），數(shù)列c_n滿足（n∈N^*）
（1）求數(shù)列a_n、b_n的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列c_n的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在正整數(shù)k使得對(duì)一切n∈N^*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*）
∴n≥2，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁==
∴（n∈N^*），（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*）
∴，
∴=，
∴（n∈N^*）

（2）
∴（n≥2）（n∈N^*）
兩式相減得：
∴，得出c₂=2，n≥2
∴=
．
（3）當(dāng)n=1時(shí)，
∴且k∈N^*k≥7且k∈N^*
當(dāng)n≥2時(shí)，，即
k（n²-n+9）＞4n²+21n+36
∵n²-n+9＞0恒成立，
∴
事實(shí)上：=（n=3取等號(hào)）
∴=9∴k＞9且k∈N^*．
綜上：k≥10，k∈N^*故k的最小值為10．
分析：（1）利用數(shù)列的遞推關(guān)系建立數(shù)列的第n項(xiàng)與前面各項(xiàng)的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意累加思想和累乘思想的運(yùn)用；
（2）利用相減的思想建立數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，注意累乘思想的運(yùn)用和分類討論思想的運(yùn)用；
（3）將所給的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，注意分離變量思想和函數(shù)最值思想的運(yùn)用．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系與數(shù)列通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，考查通過(guò)數(shù)列的遞推關(guān)系尋找相鄰項(xiàng)之間關(guān)系的累加法和累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生不等式恒成立問(wèn)題的解決方法，考查學(xué)生的函數(shù)思想處理數(shù)列問(wèn)題．