已知正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD與平面ABEF互相垂直，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．

(1)求MN的長；

(2)a為何值時(shí)，MN的長最�。�

答案：
解析：

　　解：(1)∵面ABCD⊥平面ABEF，面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，∴BE⊥面ABC．∴AB，BC，BE兩兩垂直．

　　∴以B為原點(diǎn)，以BA，BE，BC所在直線為x軸，y軸和z軸，建立如圖所求的空間直角坐標(biāo)系．

　　則A(1，0，0)，B(0，0，0)，F(xiàn)(1，1，0)，C(0，0，1)．

　　由點(diǎn)N向AB作垂線，設(shè)垂足為G，由于，

　　∴GN＝a，BG＝a，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a，a，0)．

　　同理可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，0，1－a)．

　　(1)由空間兩點(diǎn)的距離公式，得MN＝

　　(2)由(1)知，MN＝，

　　∴當(dāng)a＝時(shí)，MN的長最小，最小值為．

　　深化升華：通過建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，把空間問題代數(shù)化，從而利用二次函數(shù)配方法求最值．


提示：

本題為2002年高考題的前二問，對(duì)該題的求解方法很多，但利用坐標(biāo)法求解，應(yīng)該說是既簡捷，又易行的方法，通過幾種方法的對(duì)照比較，體現(xiàn)坐標(biāo)法解題的優(yōu)越性．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，則（
.
AP
+
.
BD
）•（
.
PB
+
.
PD
）的最大值為
 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD邊長為1，則|
AB
+
BC
+
AC
|=（　�。�
A、0
B、2
C、
2
D、2
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連接AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于一點(diǎn)P．
（1）求證：AP⊥EF；
（2）求證：平面APE⊥平面APF；
（3）求異面直線PA和EF的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知正方形ABCD．E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，將△ADE沿DE折起，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為θ（0＜θ＜π）．
（Ⅰ）證明BF∥平面ADE；
（Ⅱ）若△ACD為正三角形，試判斷點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影G是否在直線EF上，證明你的結(jié)論，并求角θ的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2008•虹口區(qū)二模）（理）已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一點(diǎn)，過點(diǎn)A、D、E的平面交棱PC于F，求證：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大小．

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