如圖，已知橢圓C：＋y2＝1(a＞1)的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，且求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo)

答案：
解析：

　　(Ⅰ)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

　　，圓的圓心為，半徑．

　　由，得直線，

　　即，

　　由直線與圓相切，得，

　　或(舍去)．　2分

　　當(dāng)時(shí)，，

　　故橢圓的方程為　4分

　　(Ⅱ)(方法一)由知，從而直線與坐標(biāo)軸不垂直，

　　由可設(shè)直線的方程為，

　　直線的方程為．

　　將代入橢圓的方程

　　并整理得：，　6分

　　解得或，因此的坐標(biāo)為，

　　即　8分

　　將上式中的換成，得．

　　直線的方程為

　　化簡(jiǎn)得直線的方程為，

　　因此直線過(guò)定點(diǎn)．　12分

　　(方法二)由題直線的斜率存在，則可設(shè)直線的方程為：

　　，

　　代入橢圓的方程并整理得：

　　，

　　設(shè)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，則是上述關(guān)于的方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，從而

　　

　　由得

　　，

　　

　　整理得：由知．

　　此時(shí)，因此直線過(guò)定點(diǎn)．


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱(chēng)△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
b2
+
y2
a2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（0，c）、F2（0，-c）（c＞0），拋物線P：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)與F1重合，過(guò)F2的直線l與拋物線P相切，切點(diǎn)E在第一象限，與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且
F2B
=λ
AF2
．
（1）求證：切線l的斜率為定值；
（2）若動(dòng)點(diǎn)T滿足：
ET
=μ(
EF1
+
EF2
)，μ∈(0，
1
2
)，且
ET
•
OT
的最小值為-
5
4
，求拋物線P的方程；
（3）當(dāng)λ∈[2，4]時(shí)，求橢圓離心率e的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，A（0，b），且
F1A
•
F2A
=-2過(guò)左焦點(diǎn)F1作直線l交橢圓于P1、P2兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l的傾斜角a∈[
π
3
，
2π
3
]，直線OP1，OP2與直線x=-
4
3
3
分別交于點(diǎn)S、T，求|ST|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)為F1（1，0）、F2（-1，0），離心率為
2
2
，過(guò)點(diǎn)A（2，0）的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）①求直線l的斜率k的取值范圍；
②在直線l的斜率k不斷變化過(guò)程中，探究∠MF1A和∠NF1F2是否總相等？若相等，請(qǐng)給出證明，若不相等，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•梅州一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，直線AF與圓M：x2+y2-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與橢圓C相交于PQ兩點(diǎn)，且
AP
•
AQ
=0．求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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