【題目】已知橢圓 + =1(a>b>0)的左右焦點F1 , F2其離心率為e= ,點P為橢圓上的一個動點,△PF1F2內切圓面積的最大值為
(1)求a,b的值
(2)若A、B、C、D是橢圓上不重合的四個點,且滿足 =0,求| |+| |的取值范圍.

【答案】
(1)解:設△PF1F2內切圓半徑為r,

由△PF1F2的面積為S= r(PF1+PF2+F1F2)= r(2a+2c),

S最大,則r最大,

當P為橢圓上下頂點時,△PF1F2的面積最大,其內切圓面積取得最大值,

,∴

= =bc= r= ,化為 ,

,a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=4,c=2,b=2


(2)解:∵滿足 =0,

∴直線AC,BD垂直相交于點F1

由(1)橢圓方程 ,F(xiàn)1(﹣2,0).

①直線AC,BD有一條斜率不存在時,| |+| |=6+8=14.

②當AC斜率存在且不為0時,設方程y=k(x+2),A(x1,y1),C(x2,y2),

聯(lián)立 ,化為(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣48=0.

∴x1+x2= ,x1x2= ,

= =

把﹣ 代入上述可得:可得| |= ,

∴| |+| |= ,

設t=k2+1(k≠0),t>1.

∴| |+| |= ,∵t>1,∴ ,

∴| |+| |∈

綜上可得:| |+| |的取值范圍是


【解析】(1)當P為橢圓上下頂點時,△PF1F2內切圓面積取得最大值,設△PF1F2內切圓半徑為r,利用 = =bc= r,化為 ,又 ,a2=b2+c2 , 聯(lián)立解得a,c,b即可得出.(2)由滿足 , =0,可得直線AC,BD垂直相交于點F1 , 由(1)橢圓方程 ,F(xiàn)1(﹣2,0).①直線AC,BD有一條斜率不存在時,| |+| |=14.②當AC斜率存在且不為0時,設方程y=k(x+2),A(x1 , y1),C(x2 , y2),與橢圓方程聯(lián)立化為(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣48=0.利用根與系數(shù)的關系可得: = = ,把﹣ 代入上述可得:可得| |= ,可得| |+| |= ,設t=k2+1(k≠0),t>1.即可得出.

練習冊系列答案
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(。⿲θ我獾總有(ⅱ)

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;②

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